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幾何平均數(shù)的計(jì)算公式（幾何平均數(shù)公式和定義）。本站來(lái)告訴相關(guān)信息，希望對(duì)您有所幫助。

先簡(jiǎn)單說(shuō)下自己數(shù)學(xué)的一輪規(guī)劃。這個(gè)學(xué)科我打算分三個(gè)流程來(lái)搞。

流程一：整理。以知識(shí)點(diǎn)的編排順序?yàn)榛A(chǔ)，分章節(jié)做歸納和整理。

做歸納和整理主要是為了保證自己在校的有效學(xué)習(xí)，以及提高對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解掌握。

這部分素材來(lái)源于一輪教材、老師授課和我先前的一點(diǎn)小積累。

流程二：做題。純粹以解題為目的，以題目為根基做總結(jié)。

題目來(lái)源包括但不限于800、必刷題、高考真題。

提幾句，800的編排很有想法，適合用來(lái)做初始化的整理。

必刷題起手難度比較大，可以當(dāng)作檢驗(yàn)和提升的資料。高考真題主要指導(dǎo)數(shù)大題，這塊800編得不好，可以自己找。

比如雙變量就找近十年的天津卷，因?yàn)闅v年全國(guó)卷的考察還是以單變量為主。

三維設(shè)計(jì)這本書總結(jié)得很散，不全，但部分題目選的不錯(cuò)。

如果你們學(xué)校已經(jīng)在用了，可以直接拿它當(dāng)一輪的核心資料來(lái)做。如果沒有就算了，沒有特別購(gòu)入的必要，用其他的也差不多。

反正一輪教材都這樣。

流程三：再整理。將知識(shí)點(diǎn)和題的總結(jié)內(nèi)化，最后簡(jiǎn)化成一份足以應(yīng)考的內(nèi)核資料。這個(gè)比較餅，由于水平有限，我暫時(shí)沒想好怎么處理，還在摸索。

然后下面這個(gè)資料，是我在[集合與常用邏輯用語(yǔ)、不等式]專題做的知識(shí)點(diǎn)整理。你們可以拿來(lái)自己用，具體怎么用我待會(huì)細(xì)說(shuō)。

把這個(gè)發(fā)出來(lái)是因?yàn)?，我最近在找教輔的時(shí)候，深刻地意識(shí)到了一點(diǎn)：人的思維是具有狹隘性的。也就是說(shuō)，一個(gè)人能看到的東西是片面的。

無(wú)論哪本教輔、一輪書，哪位老師、學(xué)生，即使他們思維水平很高，也做了很好的總結(jié)歸納，但他們的認(rèn)知肯定都是不全面的，不完善的……

先不把話說(shuō)死，這個(gè)結(jié)論僅適用于市面上的大部分教輔、普通的學(xué)生和老師。也就是我能找到的，我能接觸到的。

所以這里涉及到一個(gè)集優(yōu)的思想，就是他人往往可以為自己做出很好的查漏補(bǔ)缺。于是，我會(huì)陸續(xù)將自己整理的資料搬到這里。

主要目的是交流想法，尋求建議。當(dāng)然，如果這能多少幫到你一點(diǎn)，我想也是好的。我所發(fā)布的所有資料都允許轉(zhuǎn)載，但要求標(biāo)明原作者。

下接對(duì)應(yīng)分段的使用建議。一、90以下分段

這份資料以知識(shí)點(diǎn)和結(jié)論為主，不涉及任何推導(dǎo)過程，或許不太適合你。你在當(dāng)前應(yīng)該將學(xué)習(xí)重心放在理解和消化基礎(chǔ)性的內(nèi)容上。

這個(gè)基礎(chǔ)性內(nèi)容怎么來(lái)，你的老師和一輪教材都可以教給你。一輪教材就是現(xiàn)階段最好的課本。因此你沒有回歸課本原題的必要，畢竟上面肯定會(huì)有對(duì)應(yīng)的改編。

再者，你做整理的水平肯定不及你的一輪教材和老師。

先乖乖地沉下心來(lái)，把東西弄懂。

記住一點(diǎn)：在一輪過完之前，你考什么分?jǐn)?shù)基本沒有意義。

也就是你考20分跟你考80分沒差別，無(wú)所謂。二、90-125分段

你可以把這份資料當(dāng)作：1.一輪知識(shí)點(diǎn)速查手冊(cè)

2.構(gòu)造自己知識(shí)體系的模板

3.學(xué)完對(duì)應(yīng)模塊后查缺補(bǔ)漏的資料

4.你們老師PPT的配套講義

5.沒資源庫(kù)能打的消遣讀物

三、125-135分段

你有自己的知識(shí)體系。因此，這份資料對(duì)你來(lái)說(shuō)價(jià)值不高。并且，相對(duì)于我，你的學(xué)習(xí)方法效率更高。但若有興趣，你可以幫我做些查缺補(bǔ)漏。

比如某個(gè)知識(shí)點(diǎn)、某個(gè)結(jié)論，你有更優(yōu)的解法，或者更有效的思維方式。

這些，歡迎隨時(shí)同我交流。

函數(shù)這塊還在慢慢整理，但已經(jīng)差不多了。過幾天會(huì)放上來(lái)。另外，高三的前輩們。高考加油。

集合與常用邏輯用語(yǔ)、不等式

模塊一 集合

集合的核心思想：分類討論

集合基本運(yùn)算的兩大工具：Venn圖法、數(shù)軸法

注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，不等式是否取等取決于端點(diǎn)值的取舍

不同類型集合的交集為空集

不限制元素取值的一元點(diǎn)集可視作直線，交集可視作直線交點(diǎn)，A∩B=?即兩直線平行

集合問題的解題流程

1.確定集合[集合類型；元素的限制條件]

2.確定元素[得到元素最簡(jiǎn)形式]

3.運(yùn)算求解[交并補(bǔ)定義；數(shù)軸或Venn圖]

利用Venn圖求集合中的元素個(gè)數(shù)

解題思路：設(shè)未知數(shù)，列方程求解

怎么做新定義問題

新定義問題的作用是篩選出細(xì)心的、閱讀理解能力強(qiáng)的人，不慌張、心態(tài)更穩(wěn)的人。

只要學(xué)會(huì)分析本質(zhì)、按流程處理即可。

集合的新定義問題重在把握“集合的性質(zhì)”。

·要點(diǎn)速記

1.有理數(shù)集：Q 復(fù)數(shù)集：C 最小的自然數(shù)是0

2.確定集合的子集或子集的個(gè)數(shù)

①由n個(gè)元素構(gòu)成的集合有2n個(gè)子集

②由n個(gè)元素構(gòu)成的集合有（2n-1）個(gè)真子集

③由n個(gè)元素構(gòu)成的集合有（2n-1）個(gè)非空子集

④由n個(gè)元素構(gòu)成的集合有（2n-2）個(gè)非空真子集

3.A∪B=B?A?B；A∩B=A?A?B；(CUA)∩B=??B?A

4.CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB)；CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)

5.分類討論、分段函數(shù)求并集，其余均求交集

6.至少有一個(gè)不是空集→先求其全是空集，再求補(bǔ)集

·思維拓展

與集合有關(guān)的分類討論問題有以下四類：

①集合所含元素具有互異性，對(duì)新集合元素進(jìn)行互異性檢驗(yàn)

②對(duì)已知集合的子集個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論

③分析某集合的子集/真子集是否為空集

[易錯(cuò)(1)：A={-1,2}，B?A，則B={-1}或B={2}或B={-1,2}或B=?，求并集]

④解含參數(shù)的不等式（或方程）時(shí)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論

[易錯(cuò)(2)：A={x|ax2-3x+2=0}中只有一個(gè)元素，討論a=0]

[易錯(cuò)(3)：B={x|mx=1}是A集合的子集，討論m=0]

模塊二 充分條件與必要條件、全稱量詞與存在量詞

常用邏輯用語(yǔ)的核心思想：等價(jià)轉(zhuǎn)化

判斷充要條件的兩種方法：定義法[是否互推]、集合法[包含關(guān)系]

①要分清條件和結(jié)論分別是什么

②要從充分性、必要性兩個(gè)方面進(jìn)行判斷

③直接判斷比較困難時(shí)，可舉出反例說(shuō)明

全稱命題與特稱命題的否定步驟：改寫量詞、否定結(jié)論

①對(duì)沒有量詞的命題要結(jié)合命題的含義加上量詞，再改變量詞

②全稱命題的改寫用x，特稱命題的改寫用x0

求參數(shù)范圍記得加上題干對(duì)參數(shù)的取值限制

·要點(diǎn)速記

1.小范圍?大范圍[“小”必須為“大”的非空真子集][小可推大，大不可推小]

2.設(shè)p,q成立的對(duì)象構(gòu)成的集合分別為A,B

①p是q的充分不必要條件?A?B

②p是q的必要不充分條件?B?A

③p是q的充要條件?A=B

3.A是B的充分不必要條件(A?B且B?A)；A的充分不必要條件是B(B?A且A?B)

[速記：x是x的xxx[正推]；x的x是xxx[逆推]]

4.互為逆否關(guān)系的命題同真假同結(jié)論

[逆否命題：“若p則q”和“若?q則?p”]

·思維拓展

雙變量“存在性或任意性”問題

此類問題可等價(jià)轉(zhuǎn)化為探究?jī)蓚€(gè)函數(shù)值域或最值之間的關(guān)系。

若兩個(gè)函數(shù)之間為等量關(guān)系，即為值域關(guān)系；若兩個(gè)函數(shù)之間為不等關(guān)系，即為最值關(guān)系。

類型一 對(duì)?x1∈A，?x2∈B，使得f(x1)=g(x2)成立

?函數(shù)f(x)值域是g(x)值域的子集

類型二 對(duì)?x1∈A，?x2∈B，使得f(x1)=g(x2)成立

?f(x)與g(x)值域的交集不為空集[補(bǔ)集思想]

類型二-變式 對(duì)?x1∈A，?x2∈B，使得f(x1)=g(x2)成立

?f(x)與g(x)值域相等

類型三 對(duì)?x1∈A，?x2∈B，使得f(x1)＞g(x2)成立

?[f(x)]min＞[g(x)]min

類型三-變式 對(duì)?x1∈A，?x2∈B，使得f(x1)＞g(x2)成立

?[f(x)]min＞[g(x)]max

類型三-變式 對(duì)?x1∈A，?x2∈B，使得f(x1)＞g(x2)成立

?[f(x)]max＞[g(x)]max

類型三-變式 對(duì)?x1∈A，?x2∈B，使得f(x1)＞g(x2)成立

?[f(x)]max＞[g(x)]min

模塊三 不等關(guān)系與一元二次不等式

重難點(diǎn)：不等式的性質(zhì)及應(yīng)用

解：不等式

解集：描述法或區(qū)間

比較大小的兩種途徑：作差法、作商法

作差法：通分、因式分解、配方等

作商法：分母/分子有理化、指對(duì)數(shù)恒等變形等

①優(yōu)先將原式整理化簡(jiǎn)再考慮作差作商

②作商法應(yīng)首先確認(rèn)a,b符號(hào)，結(jié)論僅同號(hào)成立

不等式的基本性質(zhì)

1.對(duì)稱性 2.傳遞性 3.同向可加性 4.同向同號(hào)可乘性 5.同正可乘方 6同正可開方

①同向不等式可以相加，不能相減

②同乘正數(shù)不等號(hào)方向不變，同乘負(fù)數(shù)不等號(hào)方向改變

處理一元二次方程的基本方法：十字相乘法、求根公式法

一元二次不等式：配方+數(shù)形結(jié)合 含參一元二次不等式：分類討論

恒成立問題：分類討論、分離參數(shù)、主元法(知參恒成立求x)

[二次函數(shù)速解：f(x)≤0在[a,b]恒成立→聯(lián)立f(a)≤0，f(b)≤0，取交集]

[前提條件：f(x)為二次函數(shù)且開口向上(二次項(xiàng)系數(shù)為正實(shí)數(shù)或正參數(shù))]

·要點(diǎn)速記

1.已知二次函數(shù)解集→已知兩根[首選韋達(dá)處理，次選方程組法]

2.a＜b且1/a＜1/b?a＜0＜b

3.分?jǐn)?shù)性質(zhì)：同加趨近1，同減遠(yuǎn)離1

4.簡(jiǎn)單分式不等式乘除互換：若可取等，注意分式對(duì)定義域的限制；若不取等，可直接互推

5.韋達(dá)定理二級(jí)結(jié)論：|x1-x2|=√Δ/|a|

6.對(duì)于開口確定的二次函數(shù)動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間問題，優(yōu)先選用[速解]

7.若已知二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，可直接用兩根法表示該函數(shù)[f(x)=a(x-m)(x-n)]

8.待定系數(shù)法有時(shí)可用于配湊不等式，并結(jié)合不等式的基本性質(zhì)解題

9.再次強(qiáng)調(diào)！端點(diǎn)值單獨(dú)考慮！

·思維拓展

一、解不等式問題歸納

[集合]通常與[不等式]結(jié)合進(jìn)行考察

1.一元二次不等式：配方+數(shù)形結(jié)合

2.含絕對(duì)值不等式：零點(diǎn)分段法

3.分式不等式：移項(xiàng)、通分、化整式、變正號(hào)

4.簡(jiǎn)單高次不等式：數(shù)軸標(biāo)根、奇穿偶回[右上起]

5.指對(duì)數(shù)不等式：指數(shù)取對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)化同底

6.三角不等式：結(jié)合圖象數(shù)形結(jié)合

二、多項(xiàng)式快捷拆分

原理：利用平方差、完全平方等基礎(chǔ)公式，使項(xiàng)內(nèi)部分代數(shù)式合并相乘

如(m-x+1)(m+x)可看作(m-x)(m+x)+(m+x)

模塊四 基本不等式

基本不等式的核心思想：結(jié)構(gòu)意識(shí)、整體思想

基本不等式：√ab≤(a+b)/2

①一正二定三相等

②(a+b)/2為算數(shù)平均數(shù)，√ab為幾何平均數(shù)

③積定和最小，和定積最大

④重要不等式：a2+b2≥2ab[解三角形最值問題]

利用基本不等式求最值

1.配湊法：代數(shù)式的靈活變形、添項(xiàng)拆項(xiàng)

2.常數(shù)代換法：巧用1相乘/相除

3.消元法：代數(shù)式中變量較多(或者你真的做不出來(lái)了)

4.多次利用基本不等式：注意取等號(hào)條件的一致性

5.部分題目可先部分化簡(jiǎn)(如通分/有理化/兩側(cè)平方)，后進(jìn)行配湊，解法較為靈活

6.部分題目在配湊時(shí)涉及不等式的性質(zhì)及應(yīng)用，要求精準(zhǔn)處理

7.若a,b同正且和/積為定值，則對(duì)兩者取值范圍已存在隱藏限制條件

8.求解實(shí)際應(yīng)用類問題要注意是否取等，若不可取等則利用對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性求解

9.對(duì)變量給出限制條件時(shí)，應(yīng)注意不等號(hào)方向(即a,b為正或?yàn)樨?fù))

10.(a2+b2)最值：消元法

壓軸：x+y=(1/x)+(4/y)+8，x,y＞0，求(x+y)min

①配湊[觀察結(jié)構(gòu):同乘(x+y)]：(x+y)2=(y/x)+(4x+y)+5+8(x+y)≥9+8(x+y)

設(shè)(x+y)為t，t2-8t-9≥0，即(t-9)(t+1)≥0，t≥9

②巧用1：(x+y)=1/8(x+y)(x+y-(1/x)-(4/y))

·思維拓展

平方平均數(shù)Qn= 算數(shù)平均數(shù)An= 幾何平均數(shù)Gn= 調(diào)和平均數(shù)Hn=

Hn≤Gn≤An≤Qn[取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b]

靈活應(yīng)用這些不等關(guān)系，可快速處理關(guān)于基本不等式的多項(xiàng)選擇題

[注：靈活應(yīng)用指適當(dāng)變形，如設(shè)a為√a，設(shè)b為1/b等]

拓展模塊 線性規(guī)劃

線性規(guī)劃的核心思想：數(shù)形結(jié)合

線性規(guī)劃問題：求目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最值問題

線性規(guī)劃問題基本解題流程

①作出平面區(qū)域

②將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為斜截式

③作一條基準(zhǔn)線，平移

※看清直線和直線的相對(duì)位置關(guān)系[平緩或陡峭]

線定界，點(diǎn)定域；確認(rèn)虛實(shí)，優(yōu)選原點(diǎn)

一個(gè)最優(yōu)解：通常在可行域的頂點(diǎn)處取得

多個(gè)最優(yōu)解：一般在可行域的邊界上取得

ax+by=z：b＞0,上移z增下移z減；b＜0,上移z減下移z增

線性規(guī)劃中的參數(shù)問題：討論參數(shù)取值，分別畫出可行域

線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用：通常設(shè)兩種產(chǎn)品件數(shù)為x,y；總利潤(rùn)為目標(biāo)函數(shù)z

·思維拓展

線性規(guī)劃問題的轉(zhuǎn)化思想

1.點(diǎn)(m,n)在不等式ax+by+c＞0所表示的平面區(qū)域內(nèi)→(m,n)代入不等式求解

2.點(diǎn)(x1,y1)和點(diǎn)(x2,y2)在直線ax+by+c=0的兩側(cè)→兩點(diǎn)代入方程異號(hào)

3.某三角形平面區(qū)域被過其頂點(diǎn)的直線l分為面積相等的兩部分→直線l過底邊中點(diǎn)

4.直線x=a將平面區(qū)域分為面積之比為1:4的兩部分→先求總面積，再得到對(duì)應(yīng)面積求參

5.二元一次目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)→對(duì)應(yīng)直線與可行域邊界重合

6.非線性目標(biāo)函數(shù)的最值（幾何意義）

①z=y/x (斜率) ②z=x2+y2(距離) ③z=x-y (截距)

高考新題型：多項(xiàng)選擇

直接法、特值法、反證法、數(shù)形結(jié)合法