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全等三角形太難了不會(huì)添加輔助線(xiàn)

在全等三角形的證明題中經(jīng)常會(huì)遇到證明關(guān)系的題目關(guān)系一般包括數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系為相等有些題目也考查倍數(shù)關(guān)系和差關(guān)系常見(jiàn)的位置關(guān)系為平行或垂直還有一種比較特殊的關(guān)系那就是垂直平分本篇主要介紹位置關(guān)系中的垂直證明垂直暫時(shí)有兩種方法先介紹其中一種證明垂直常用的方法那就是通過(guò)證明兩個(gè)銳角互余進(jìn)而證明垂直當(dāng)然有時(shí)也可以選擇利用8字形進(jìn)行證明

例題1已知如圖在ABD中BCAD于點(diǎn)CE為BC上一點(diǎn)AEBDECCD延長(zhǎng)AE交BD于點(diǎn)F求證AFBD

分析先通過(guò)HL定理斜邊直角邊定理證明ACEBCD可得到CAECBD由CAEAEC90AECBEF推出CBDBEF90在三角形中兩個(gè)銳角互余即可得到另外一個(gè)角為直角即可證明兩條線(xiàn)段垂直

本題也可借助8字形通過(guò)全等可得EADCBD再加上對(duì)頂角相等AECBEF即可得到BFEACE90

證明兩個(gè)直角三角形全等需要找準(zhǔn)判定定理不能看到直角三角形就用HL定理前面學(xué)習(xí)的SASASAAAS等定理也可以使用兩個(gè)直角三角形需要滿(mǎn)足斜邊對(duì)應(yīng)相等和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)才能利用HL定理證明兩個(gè)直角三角形全等

例題2已知如圖在正方形ABCD中ADABDABB90點(diǎn)EF分別在ABBC上且AEBFAF交DE于點(diǎn)G求證DEAF

分析已知DAE與ABF為直角三角形本題所給的條件為ADABAEBF兩條都是直角邊不能用HL定理證明應(yīng)該用SAS證明兩個(gè)三角形全等由此得到BAFADE由于BAFDAF90通過(guò)等量代換得到ADGDAG90從而可以證明DEAF

如果題目中證明兩條線(xiàn)段的關(guān)系那么還需要證明兩條的數(shù)量關(guān)系即證明AFDE

例題3如圖在等腰直角三角形AOB中AOB90在等腰直角三角形EOF中EOF90連接AEBF求證AEBF

分析兩個(gè)三角形都為等腰直角三角形可得OAOBOEOF借助手拉手模型可發(fā)現(xiàn)證明AOEBOF由AOBEOF90同時(shí)減去BOE得到AOEBOF等角加減等角得等角隱含條件之一通過(guò)SAS可證明兩個(gè)三角形全等要證明AEBF可先延長(zhǎng)AE交BF于點(diǎn)D通過(guò)證明兩個(gè)銳角互余得到結(jié)論

在后續(xù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中還會(huì)學(xué)習(xí)其它證明垂直的方法