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1、設(shè)子空間上的一組基為{e1,e2,,er}任取一組整個(gè)空間上的基{f1,f2,,fn}把fi依次一個(gè)一個(gè)地放入子空間的基，比如{e1,e2,,er,f1},如果這組向量線性相關(guān)，則拿掉f1，如果線性無關(guān)，則留在里面，擴(kuò)充了一個(gè)，記f1=e_(r+1)再把f2放進(jìn)去{e1,e2,,er,e_(r+1),f2}同上述過程一樣。最終得到一組線性無關(guān)的向量{e1,e2,es}容易看出{f1,f2,,fn}能與{e1,e2,es}互相線性表示得出{e1,e2,es}的極大無關(guān)組個(gè)數(shù)為n又因?yàn)閧e1,e2,es}線性無關(guān)，所以s=n所以{e1,e2,en}就是擴(kuò)充后的一組基。

2、數(shù)系擴(kuò)充的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展和創(chuàng)造的過程,也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的客觀需求.雖然學(xué)生知道自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集和實(shí)數(shù)集，了解它們之間的包含關(guān)系。