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　　拐點(diǎn)的充要條件是：二階導(dǎo)數(shù)在這個(gè)點(diǎn)的左右兩側(cè)變號。二階導(dǎo)數(shù)等于0是必要條件，若三階導(dǎo)數(shù)不為0（前提存在），則必是拐點(diǎn)。三階導(dǎo)數(shù)也為0，結(jié)論不定。比如f(x)=x^4，0點(diǎn)的2 3階導(dǎo)數(shù)都是0，但0不是拐點(diǎn)。從集合的角度來說，必要條件的集合包含要證明的集合，充分條件的集合，是證明集合的子集。總之，必要條件的集合包含的范圍大些，充分的小些。

　　拐點(diǎn)的定義：

　　拐點(diǎn)，又稱反曲點(diǎn)，在數(shù)學(xué)上指改變曲線向上或向下方向的點(diǎn)，直觀地說拐點(diǎn)是使切線穿越曲線的點(diǎn)（即曲線的凹凸分界點(diǎn)）。若該曲線圖形的函數(shù)在拐點(diǎn)有二階導(dǎo)數(shù)，則二階導(dǎo)數(shù)在拐點(diǎn)處異號（由正變負(fù)或由負(fù)變正）或不存在。

　　在生活中借指事物的發(fā)展趨勢開始改變的地方（例如：經(jīng)濟(jì)運(yùn)行出現(xiàn)回升拐點(diǎn)）。

　　拓展：

　　可以按下列步驟來判斷區(qū)間I上的連續(xù)曲線y=f(x)的拐點(diǎn)：

　?。?）求f''(x)；

　　（2）令f''(x)=0，解出此方程在區(qū)間I內(nèi)的實(shí)根，并求出在區(qū)間I內(nèi)f''(x)不存在的點(diǎn)；

　　在數(shù)學(xué)上指改變曲線向上或向下方向的點(diǎn)，直觀地說拐點(diǎn)是使切線穿越曲線的點(diǎn)（即連續(xù)曲線的凹弧與凸弧的分界點(diǎn)）。若該曲線圖形的函數(shù)在拐點(diǎn)有二階導(dǎo)數(shù)，則二階導(dǎo)數(shù)在拐點(diǎn)處異號（由正變負(fù)或由負(fù)變正）或不存在。