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計算半徑為 r(>0) 的圓C?上，弧度為θ的圓心角對應的弧長s是非常簡單的事情，

由于，C?的周長2πr實際上是弧度為2π的圓心角對應的弧長，所以得到，s=2πr?θ/2π=rθ。

但是，若R處于流形中，我們又該如何計算呢？

任意維度的歐氏空間 ?? 上的 恒等映射，都是 自身到自身 光滑同胚，于是 構成的流形?？紤]流形 ? 到 ?2 的光滑映射，

它在 ?2 中的像就是 C?。

我們在 ? 中取長度為θ開區(qū)間 V=(a, b) ，則 弧f(V)的長度就是所求s。如圖1，將V平均分為v個小區(qū)間，令x?=a，x???=b，這些分割點的像 f(x?),?,f(x???) 同時也把弧f(V) 分為v個弧長分別為 s?, ?, s? 的小弧度，小弧長度之和就是s。

圖1：計算弧長

每個小區(qū)間 (x?, x???)，都對應 導射 df|?? ，它是 x? 處切空間 T??? 到 f(x?) 處的切空間 T?2的線性映射，又因為 T???就是?， 所以 Δx?=|x???-x?| 也就是 T??? 中的切向量，故 df|??(Δx?) 是 T?2中的切向量，同時也是 C? 在 f(x?) 點 的切向量。

我們知道，當v趨近無窮大時，Δx?趨近0，于是 弧長 s? 趨近 弦長 ∥f(x???)-f(x?)∥，而此時，弦向量 f(x???)-f(x?) 也將逼近 df|??(Δx?) ，于是有，

進而，

至此，問題關鍵轉變?yōu)椋呵?T?2 中向量 df|?(1) 的長度，這個根據(jù)《矢量分析》的知識有，

注：∥x∥ 表示向量x的長度，也叫?；蚍稊?shù)；< x,="" y=""> 表示向量x和y的內(nèi)積（為了區(qū)別于二元坐標向量，本系列一律使用尖括號表示內(nèi)積）。

于是，

這與我們一開始計算出來的結果一致。

若將上面的流形從 ?2 替換為 S2，則光滑映射，

在S2 中的像是 C?，（當然，這里需要規(guī)定 r <>

用類似上面的方法，同樣可以得到 ⑴，所以關鍵是：求 TS2 中向量 df|?(1) 的長度，這有，

這與前面的結果相同，故，最終的弧長也和前面完全一樣。

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實際上，對于任何光滑流形 M 中的任何光滑曲線f: ?→M 的弧長s的計算，都可以 推導 出公式 ：

所以，問題的關鍵是：

求空間 TM 中向量 df|?(1) 的長度 ∥df|?(1)∥。

這樣就將，流形中任意兩點間的任意弧長的度量問題，轉變?yōu)椋瑢τ谇锌臻g中切向量長度的度量問題。也即是說，我們只需要在切空間中定義切向量h的度量∥h∥，就可以通過 ⑴，在流形中誘導出弧長度量。而根據(jù)《矢量分析》的知識知道：

因此，最終的關鍵是，要給M的每個點x對應的切空間TM? 定義一個內(nèi)積 ，更具體地說，我們需要定義一個從M到全體內(nèi)積的光滑映射g，對于每個 x∈M，有 g(x) = ：TM?×TM?→?，而由《高等代數(shù)》的知識知道， 是TM? 上的二重線性函數(shù)，并且必須滿足：

對稱性： = ；正定型： ≥ 0 且 = 0 ? u=0；

這個映射g就是大名鼎鼎的黎曼度量（riemannian metric），定義了黎曼度量的光滑流形稱為黎曼流形（riemannian manifold）。

圖2：黎曼度量

我們知道線代空間加入內(nèi)積就變成了內(nèi)積空間，實際上所謂加入黎曼度量，就是以光滑的逐點方式，讓流形上的每個切空間變成內(nèi)積空間的過程。

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內(nèi)積可以很多，我們熟悉的的向量點乘：

稱為歐氏內(nèi)積。一遍來說，對于流形M的不同的切空間可以定義不同的內(nèi)積，只要保證黎曼度量g是光滑映射就可以了，但是我們也可以對所有切空間定義同一個內(nèi)積，比如：讓S2的所有切空間都是歐氏內(nèi)積，實際上歐氏空間 ?? 自然就具有 歐氏內(nèi)積，所以它當然也就是 黎曼流形了。

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